Keskituottoon perustuvista sijoituslaskelmista

Lisäys 19.9.2016 kello 13:11: ks. kommentit ja korjaus

Iltasanomat uutisoi eilen Nordnetin Martin Paaden laskelmista, jonka mukaan vastasyntyneestä lapsesta voi tehdä eläkemiljonäärin 13 800 euron sijoituksella. Kyse on yksinkertaisesta kertolaskusta, jossa sijoitus kasvaa korkoa korolle (13800*(1,066)^67) tietyn keskituoton mukaan. Laskelma on kuitenkin harhaanjohtava. Selitän tässä, miksi.

Paasi antaa ymmärtää, että osakesijoittamiseen liittyvä riski pienenee pitkällä aikavälillä:

Todellisessa osakesijoittamisessa pitkä aikaväli edustaa lisäksi kasvavassa määrin ennustettavuutta, kun taas lyhyt aikaväli sattumanvaraisuutta. Mitä pidempi sijoitushorisontti, sitä varmemmin sijoituksesi keskimääräinen vuotuinen tuotto lähenee 6,6 prosenttia.

Se, mitä Paasi sanoo, on totta, mutta harhaanjohtavaa. Tätä kutsutaan nimellä fallacy of time diversification, jonka voisi suomentaa aikadiversifioinnin harhaksi.

Paaden argumentti perustuu sille, mikä sijoituksen arvo on eläköityessä - miljonäärinä eläkkeelle. Sijoituksen loppuarvoon liittyvä riski ei kuitenkaan pienene sijoitushorisontin kasvaessa. Näin on, vaikka sijoituksen keskimääräiseen vuosituottoon liittyvä riski pienenee. Tämä kuulostaa tekniseltä, mutta se on hyvin tärkeää.

Tämän voisi johtaa myös formaalisti, mutta simuloidaan mieluummin. Annetaan 100 000 kuvitteelliselle vastasyntyneelle 13 800 euroa, sijoitetaan rahat osakemarkkinoille joiden vuosituotto noudattaa normaalijakaumaa 6,6 prosentin keskituotolla ja 20 prosentin keskihajonnalla. Millaiset eläkepotit kohorttejamme odottavat? Tuloksena on lognormaali jakauma (kuten odottaa sopii kun normaalijakautuneita muuttujia kerrotaan keskenään).



Eläkepottien keskiarvo on tosiaankin miljoona euroa. Keskimääräinen eläkepotti, eli eläkepottien mediaani, on kuitenkin tätä pienempi: 293 000 euroa. Itse asiassa vastasyntyneen todennäköisyys jäädä miljonäärinä eläkkeelle on vain hieman yli 20 %. Noin 3 prosenttia poteista on jopa pienempiä kuin alkupääoma.

Jos siis Paaden laskelma kuulostaa liian hyvältä ollakseen totta, se on sitä. Lastasi odottaa eläkkeellä todennäköisemmin alle sadantuhannen euron salkku kuin yli miljoonan euron salkku.

Jos haluat lukea aiheesta lisää, ks. Alex TabarrokJohn CochraneJohn Norstad. Simulaation R-koodi löytyy Pastebinistä.

19 kommenttia:

Esa Mäkeläinen kirjoitti...

Ja laskelmasi ja tuo keskihajontaoletuksesi perustuu nyt siihen että lapselle ostetaan indeksin mukainen hajautettu osakesalkku vai että hänelle ostetaan yhtä tai muutamaa osaketta? Noilla oletuksilla on laskelmiin aika valtava ero ja vähintäänkin se olisi pitänyt kertoa tässä...

Esa Mäkeläinen kirjoitti...

Ja laskelmasi ja tuo keskihajontaoletuksesi perustuu nyt siihen että lapselle ostetaan indeksin mukainen hajautettu osakesalkku vai että hänelle ostetaan yhtä tai muutamaa osaketta? Noilla oletuksilla on laskelmiin aika valtava ero ja vähintäänkin se olisi pitänyt kertoa tässä...

Allan Seuri kirjoitti...

Hei,

vastasinkin facebookissa ennen kuin ehdin huomata tämän, mutta sama tännekin : )

Keskihajontaoletusluvun otin mainituista Tabarrokin ja Cochranen postauksista, se on käsittääkseni S&P 500-indeksin historiallinen toteuma. Eli perustuu siihen, että ostetaan indeksin mukainen hajautettu osakesalkku.

Mantelimies kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Kalle Numminen kirjoitti...

Mietin voiko olla näin yksinkertaisesta kyse, että oliko tuossa Allan Seurin tuottolaskelmassa käytetty 6,6% inflaatiokorjattu reaalituotto? Ja jos Esa mahdollisesti tarkoitti nimellistä tuottoa?

Anonyymi kirjoitti...

Taitaa olla inflaatiokorjattu. Korjamaaton on noin 11% riippumatta aloitetaanko vuodesta 28 vai 57. Hajonta on noin 20% vuodesta '28 ja noin 17% vuodesta 57.

Allan Seuri kirjoitti...

Joo, inflaatiokorjattu, hyvä täsmennys. Kuten pitääkin olla, kyllähän sitä eläkkeellä haluaa mieluummin hyödykkeitä kuin paperirahaa : )

Roger Wessman kirjoitti...

Hei,

Sinun laskelmiesi oletuksissa on nyt selkeästi joku koira haudattuna.

Laskelmiesi mukaan siis jos osakemarkkinat käyttäytyvät historiallisella tavalla (odotettu tuotto ja keskihajonta sama) lähes 80 prosentin todennäköisyydellä osakemarkkinoiden tuotto jää alhaisemmaksi kun mitä se historiallisesti on ollut.

Eli osakemarkkinoiden historiallinen tuotto on ollut epätodennäköisen hyvä verrattuna osakemarkkinoiden historialliseen käyttäytymiseen.

Lieneeköhän syynä se, että osakemarkkinoiden tuottoa yli ajan lasketaan geometrisenä keskiarvona, ja sinä käytät lukua aritmeettisena keskiarvona? Vuotuisten tuottojen aritmeettinen keskiarvo on kuitenkin korkeampi kuin niiden geometrinen keskiarvo.

Ainakin Tabarokin postaus johon viittaat, näyttää perustuvan puhtaasti siihen, että hän ei ymmärrä tätä eroa. (Tai itse asiassa hänen laskelmat eivät todista mitään muuta, kun että jos keskihajonta >0, geometrinen keskiarvo on pienempi kuin aritmeettinen keskiarvo).

Allan Seuri kirjoitti...

Hei Roger,

kiitos kommentista. En voi väittää sitä täysin ymmärtäväni, mutta koska olet fiksu, uskon että sinulla on pointti.

Tämä lienee toistoa, mutta sanotko siis, että tuo 6,6 % on toteutunut geometrinen keskiarvo (average annualized), ja tulkitsen sen väärin aritmeettisena keskiarvona (average annual)? Onko käyttämäni keskihajontaluku mielestäsi oikea?

Jos näin on, minun pitäisi käyttää siis laskelmassani jotain 6,6 %:ia korkeampaa lukua. Olettaen, että käyttäisin edelleen samaa keskihajontalukua, jakauma siirtyisi vain oikealle, eikö?

Voin hyvin olla väärässä, ja kunhan ymmärrän sen niin teen kyllä korjauspostauksen.

Minulle itselleni seuraava on asian ydin: sijoituksen loppuarvoon liittyy riski, joka ei vähene sijoitushorisontin kasvaessa. Sijoituksen loppuarvon hajonnan odotusarvo kasvaa sijoitushorisontin kasvaessa (ilman merkittävää pitkän aikavälin negatiivista autokorrelaatiota). Onko tämä mielestäsi totta?

Kiitos, kun autat ymmärtämään! Tietenkin jos jaksat matikoida tai simuloida itse, niin ainakin itse ymmärtänen helpommin.

Ja jos mielestäsi Tabarrok ei sano mitään mielenkiintoista, mitä mieltä olet Cochranen postauksesta?

Roger Wessman kirjoitti...

Otetaan yksinkertainen tuottojakauma ongelman havainnollistamiseksi. Vuotuinen tuotto on joko -10 % tai + 30 % 50 prosentin todennäköisyydellä. Vuosituoton aritmeettinen keskiarvo on 10 % ja keskihajonta 20 %.

Geometrinen keskiarvo, eli odotettu tuotto on kuitenkin vain 8,17 prosenttia. Jos vuosi 1 tuotto +30% ja vuosi 2 -10 % kahden vuoden jälkeen tuotto on 17 %, eli 8,17 % p.a.

Ero aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välillä riippuu tarkasta tuottojakaumasta, mutta 20 prosentin keskihajonnalla ero on n. 2 prosenttia kuten yksinkertaisessa esimerkissäni. Eli jos korvaat 6,6 %:illa 8,5 prosentilla saat suurin piirtein oikean tuloksen. Silloin saanet mediaaniksi noin miljoona euroa.

Tavallisempi tapa mallintaa tuottoja on, että oletetaan vuosittaisten logaritmisten muutosten olevan normaalijakautuneita (tässä tapauksella keskiarvolla (log(1.066) ja keskihajonnalla log(1.20). Tällä on mm se hyvä puoli, että vuosituotot eivät teoreettisestikaan simuloinnissa voi pudota alle -100 prosentin, mutta jakauma sallii yli 100 prosentin vuosituottoja. Tältä osin tämä jakauma on realistisempi.

Se väheneekö riski ajan myötä riippuu siitä miten riskiä määritellään. Jos riskillä tarkoitetaan todennäköisyyttä siitä, että sijoitus tuottaa tappiota – tai että tuotto jää alle jonkun tietyn kiinteän koron – riski todellakin pienenee yli ajan.

Toki jos asetetaan tavoitteeksi tuotto joka ylittää sijoituksen odotetun tuoton (kuten Cochranen esimerkissä jossa tavoite on 8 prosenttia ja odotettu tuotto 4 prosenttia), todennäköisyys sille, että tavoite jää saavuttamatta kasvaa ajan myötä kohti 100 prosenttia. Tämä on mielestäni aika triviaali tulos. Cochranekaan ei näytä ymmärtävän, että sijoituksen tuotto on geometrinen keskiarvo.

Cochranen postauksen ainoa anti mielestäni on, että jos tuotto on normaalijakautunut sijoituksen loppuarvo ei ole normaalijakautunut. Jakaumalla on pitkä häntä ylöspäin – eli ”riski” siitä että tulet paljon rikkaammaksi kuin odotusarvon perusteella voisi olettaa on suur. (Kirjoittaja itse tosin ei näytä ymmärtävän, mitä hänen laskelmat osoittavat)

Kaikki nämä laskelmat toki perustuvat siitä, että tiedämme varmuudella mistä jakaumasta vuosittaiset tuotot tulevat. Todellinen epävarmuus siitä mitä tuotot tulevat olemaan eivät välttämättä pienene ajan myötä. Riski esimerkiksi siitä, että vallankumouksellinen hallitus tulevaisuudessa takavarikoi koko varallisuuden kai pikemmin kasvaa ajan myötä.

Erityisesti ei ole mitään erityistä syytä luottaa siihen, että historiallinen tuotto on luotettava arvio tulevasta tuotosta. Pelkästään osakemarkkinoiden arvostustason perusteella, on vahvaa syytä olettaa, että tuotto tulevaisuudessa on alhaisempi kuin historiallinen tuotto.

jeremias kirjoitti...

Mites ostovoima ja inflaatio? Miljoona euroa on iso summa nykyään, 67 vuoden päästä se voi olla melko pienikin. Saakohan tuollaisella summalla 67 vuoden päästä edes yksiötä helsingistä? Nykyhintojen kehitystä kun katsoo niin voi olla että kämpän hinta ylittää miltsin jo 20 vuoden päästä...

Allan Seuri kirjoitti...

Jeremias: toki kaikki hyvät laskelmat perustuvat reaalituottoihin. Toisin sanoen kyse on miljoonasta tämän hetken arvossa.

Roger: Kiitos taas, hyviä pointteja. Koetan päästä samalle kartalle simppelimpien juttujen suhteen, niin voidaan jatkaa sen jälkeen vallankumouksista ynnä muista. Koska tämä kohta minua kiinnostaa tällä hetkellä eniten, tartun siihen:

"Se väheneekö riski ajan myötä riippuu siitä miten riskiä määritellään. Jos riskillä tarkoitetaan todennäköisyyttä siitä, että sijoitus tuottaa tappiota – tai että tuotto jää alle jonkun tietyn kiinteän koron – riski todellakin pienenee yli ajan."

Totta, hyvä huomio: vastaus riippuu siitä, miten riski määritellään. Olen samaa mieltä siitä, että riski että sijoitus tuottaa tappiota alenee sijoitushorisontin kasvaessa. En ole niin varma jälkimmäisestä: eikö tämä riipu ko. kiinteän koron arvosta? Voisiko sanoa niin, että todennäköisyys että tuotto jää alle jonkin keskituottoa matalamman arvon, pienenee? Intuitiivinen esimerkki: yhden vuoden sijoituksella tuotto ei jää välttämättä alle 15 prosentin, mutta pitkällä aikavälillä lähes varmasti jää. Todennäköisyys, että tuotto jää alapuolelle, kasvaa sijoitushorisontin myötä. Todennäköisyys, että annualized return jää mediaani- tai keskiarvotuoton (nämä samoja, kuten Cochranen 2. kuviossa) alapuolelle pysyy vakiona, 50 %.

Mutta joka tapauksessa, eikö ole luontevampaa hahmottaa riski sijoituksen loppuarvon suhteen? Ihmisethän haluavat sijoituksiltaan euroja, joilla ostaa hyödykkeitä, ei prosentteja. No, tämä lienee makuasia.

Kikkailin taas R:n kanssa tätä pähkäilläkseni. Simuloidaan tietyllä alkuarvolla tuottoja, jotka i.i.d. normaalijakautuneita (pos. keskiarvo ja keskihajonta). Mitä tapahtuu sijoitushorisontin kasvaessa? Ovatko nämä totta:
1) keskimääräisen vuosituoton (annualized return) keskihajonta alenee
2) sijoituksen loppuarvon keskihajonta kasvaa
3) todennäköisyys, että sijoituksen loppuarvo jää tietyn arvon (esim. sijoituksen alkuarvo) alapuolelle, alenee

Olen vielä oppimisprosessissa vaiheessa, mutta tämänhetkiset johtopäätökset ovat, että:
1) Laskelmani oli liian pessimistinen koska käytin geometrista keskiarvoa aritmeettisena keskiarvona
2) Jos tehdään laskelmia, joissa otetaan jokin geometrinen keskiarvo ja ratkaistaan sijoitushorisontin ja loppuarvon ("miljonäärinä eläkkeelle") funktiona tarvittava alkupääoma, todennäköisyys että todellakin pääset tietyllä alkusijoituksella miljonäärinä eläkkeelle pysyy 50 prosentissa vaikka kuinka sijoitushorisonttia kasvatettaisiin.
3) Sijoituksen riski kasvaa tai pienenee sijoitushorisontin kasvaessa, riippuen siitä miten riski hahmotetaan.

Huh, kinkkistä.

Roger Wessman kirjoitti...

Juuri näin.

Jarno Ruokokoski kirjoitti...

Tämän laskelman suurin ongelma on siinä että sijoitustuotot eivät ole normaalijakautuneita. Käytännössä koskaan! Lisäksi seuraavan vuoden tuottojen jakauma riippuu voimakkaasti nykytilastaan. Kuka uskoo siihen että heti 2009 finanssikriisin jälkeen osakekurssit saattavat laskea edelleen aika paljon? Samoin juuri nyt epäillään osakekuplaa, jolloin osakekurssien arvo todennäköisemmin laskee kuin nousee?

Todella pitkällä aikavälillä alkusijoitus voi mennä laskelmassasi nollaan. Kuinka todennäköistä on että hyvin rakennettu etf sulaa kokonaan? Pitää muistaa että esim. 25 vaihdetuimman osakkeen etf:n sisällä tehdään myyntejä jo kauan ennen osakkeen konkurssia jos kyseinen osake putoaa 25 vaihdetuimman osakkeen joukosta.

Enemmän pitäisi olla kiinnostunut osingonmaksukyvystä. Ja siitä johdetusta tuottotasosta. Onko se suurempi kuin inflaatio?

Jarno Ruokokoski kirjoitti...
Kirjoittaja on poistanut tämän kommentin.
Nick Nolan kirjoitti...

Käsittääkseni Allanin virhe on siinä, että hän käyttää normaalijakaumaa lognormaalin jakauman sijasta. Osakemarkkinoita mallinetaan käytännössä aina lognormaalilla jakaumalla tai kävelyllä.

Seuravat muutokset R-koodin antavat realistisemman tuloksen joka on yhtenevä Roger Wessmanin neuvon kanssa.

mu<-1.07

sd=1.2

returnMatrix[j,]<-returnMatrix[j-1,]*rlnorm(N,meanlog=log(mu),sdlog=log(sd))

Allan Seuri kirjoitti...

Kiitos Nick Nolan!

Allan Seuri kirjoitti...

Tein nyt korjauspostauksen. Kiitos erityisesti Rogerille kärsivällisyydestä!

http://harhala.blogspot.ie/2016/09/sijoituslaskelmat-korjaus-ja-yhteenveto.html

Nick Nolan kirjoitti...

Vielä yksi lisäys.

Pitkällä aikavälillä osakemarkkinoiden tuottoa dominoivat osingot.

Esim. SP500 hintaindeksin annualisoitu pitkän aikavälin tuotto on noin 3%. (2.1% jos SP500 lasketaan ajassa taaksepäin vuoteen 1879). Total return index, jossa osingot uudelleensijoitetaan on tuottanut vuodesssa 6.1 - 6.7 prosenttia. Tämä voi ehkä vaikuttaa pitkän aikavälin osaketuottosimulaatioon. Osinkotuoton jakauma voi erota hintaindeksin jakaumasta. En tiedä, kunhan arvailen. http://www.multpl.com/s-p-500-dividend-yield/

Lähetä kommentti

Kommentti

Blogiarkisto